Genné es el hijo del cantante de ópera (bajo) y director de la Danziger Stadttheaters Friedrich Genée (1795-1856).

Estudió medicina primero, luego música y tomó clases de composición con Adolf Stahlknecht (1813-1887) en Berlín. Desde 1848 fue un director de orquesta de gran actividad en Reval, Riga, en 1852/1853 en Cologne, Düsseldorf, Aachen, Gdansk, en 1857 en Mainz, en 1864/65 en Prague, y luego en la Deutchen Oper en Amsterdam.

Richar Genée era amigo de Friedrich von Flotow y trabajó desde 1868 y por una década como director musical en el Teatro an der Wien. Junto con Franz Zell (Operettenfirma Zell und Genée) escribió un enorme puñado de libretos para operettas de MIllöcker, Suppé, Ziehre. Entre otros, las dos operetas más conocidas cuyos textos coescribió son Die Fledermaus para Johann Strauss (junto a Karl Haffner) y Der Bettelstudent de Karl Millöcker (junto a Franz Zell).

En 1876, compuso la opereta Der Seekadett. En ajedrez hay una jugada de mate de inicio llamada Seekadettenmatt en honor a esta opereta.

Aparte de componer y dirigir, Genée también realizó la traducción de trabajos de Jacques Offenbach y Gilber & Sullivan. Se retiró de la dirección musical a los 55 años y vivió confortablemente disfrutando de los frutos de la popularidad a la edad de 72 años. Pasaba los meses de invierno en Berlín y los meses de verano en Viena, Preßbaum o en su cabaña en Baden – donde falleció durante una estadía de reposo y fue enterrado el 17 de Junio de 1895 en el cementerio de la ciudad. Entre los deudos en el funeral se encontraban Johann Strauss, Karl Millöcker y Karl Komzák.