Genée war der Sohn des Opernsängers (Bass) und Direktors des Danziger Stadttheaters Friedrich Genée (1795–1856).

Er studierte zuerst Medizin, dann Musik und nahm Kompositionsunterricht bei Adolf Stahlknecht (1813–1887) in Berlin. Ab 1848 war er als Theaterkapellmeister in Reval, Riga, 1852/1853 in Köln, Düsseldorf, Aachen, Danzig, 1857 in Mainz, 1864/65 am Prager Landestheater, dann an der Hofoper Schwerin sowie an der Deutschen Oper in Amsterdam tätig.

Richard Genée war mit Friedrich von Flotow befreundet und wirkte ab 1868 ein Jahrzehnt als Kapellmeister am Theater an der Wien. Zusammen mit Franz Zell (Operettenfirma Zell und Genée) verfasste er eine Vielzahl von Libretti für Operetten von Strauß, Millöcker, Suppé, Ziehrer u. a. Zwei der bekanntesten Operetten, deren Texte er mitverfasste, sind Die Fledermaus von Johann Strauß (zusammen mit Karl Haffner) und Der Bettelstudent von Karl Millöcker (zusammen mit Franz Zell).

1876 komponierte er die Operette Der Seekadett. Beim Schachspiel ist eine Eröffnungsfalle, das Seekadettenmatt nach dieser Operette benannt.

Genée verbrachte die Wintermonate in Berlin, die Sommermonate in Wien, Preßbaum oder in seinem Wohnhaus in Baden – wo er “während eines Kuraufenthalts" verstarb und, protestantischen Glaubens, am 17. Juni 1895 auf dem Stadtfriedhof begraben wurde. Unter den Trauergästen befanden sich Johann Strauß, Karl Millöcker sowie Karl Komzák.