Richard Genée est le fils du chanteur d'opéra (basse) et directeur du Théâtre de la Ville de Danzig, Friedrich Genée (1795-1856). Il étudie d'abord la médecine, puis la musique, notamment la composition avec A. Stahlknecht à Berlin. En 1848, il est engagé comme chef d'orchestre du théâtre à Reval (aujourd'hui Talinn) et Riga, en 1852-1853 à Cologne, Düsseldorf, Aix-la-Chapelle et Danzig, en 1857 à Mayence, de 1864 à 1865 au Théâtre national de Prague, puis à l' Opéra de cour de Schwerin et au Deutsche Oper à Amsterdam.

Dès 1868, grâce à son ami Friedrich von Flotow, Genée est chef d'orchestre au Theater an der Wien à Vienne. C'est alors qu'il commence sa collaboration avec le librettiste Camillo Walzel qui écrivait sous le pseudonyme de Friedrich Zell, et qui correspond à l'âge d'or de l'opérette viennoise. Il écrit un certain nombre de livrets pour opérettes de Johann Strauss II, Carl Millöcker, Franz von Suppé, Carl Michael Ziehrer entre autres. Deux des opérettes les plus célèbres, dont il a co-écrit les paroles sont Die Fledermaus de Johann Strauss (avec Karl Haffner) et Der Bettelstudent de Millöcker (avec Franz Zell). Il compose en 1876 Der Seekadett.

Genée passe l'hiver à Berlin et l'été à Vienne, ou dans sa maison à Baden où il meurt lors d'un séjour thermal le 17 juin 1895. Il est enterré dans le cimetière de cette ville.