György nació cerca del lugar de nacimiento de su colega húngaro György Ligeti. Ambos, jóvenes compositores, esperaban estudiar con Béla Bartók en Budapest a partir del año 1945, pero Bartók murió en Estados Unidos antes de su regreso. Este hecho llevó a Kurtág a iniciar estudios de piano, composición y música de cámara con otros profesores de la Academia de Música de Budapest. Allí también estudiaba la pianista Márta Kinsker (luego Kurtág), con quien se casó en 1947; su hijo György nació en 1954. Entre sus primeras obras destacó una Cantata coreana que expresaba su solidaridad con los coreanos del norte en la Guerra de Corea contra los Estados Unidos. Ya cumplidos los treinta y tres años comenzó a colocar números de opus a sus obras.

A inicios de los años 1950 el régimen estalinista en Hungría proscribió las últimas obras de Bartók, y su música se convirtió inmediatamente en una forma de reunión para los artistas que creaban un soporte contra el autoritarismo. También en Hungría fueron prohibidos, hasta mediados de los años cincuenta, la música de Arnold Schönberg, y la obra de los periodos medio y último de Stravinski. Para escapar de esta camisa de fuerza creativa, Kurtág se trasladó a París en 1957 y así poder estudiar música con Olivier Messiaen, Darius Milhaud y Max Deutsch. También tuvo consultas con la psicóloga del arte húngara Marianne Stein, y sus consejos serían muy influyentes en su futuro desarrollo. Mientras estaba en París escribió su primer Cuarteto de cuerdas, otorgándole el Opus 1 para así marcar un quiebro decisivo en sus composiciones hasta la fecha. Regresó a Budapest en 1958, haciendo un alto durante unos días en Colonia, donde oyó por primera vez grabaciones de la reciente Gruppen de Stockhausen y la música electrónica de Ligeti. Esta experiencia también sería importante en la formulación de su nueva voz compositiva.

Kurtág fue contratado como profesor de piano en la Academia Ferenc Liszt de Budapest en 1967, y poco después ejerció como profesor de música de cámara. Se retiró oficialmente de la Academia en 1986. Durante ese tiempo entre sus alumnos estuvieron pianistas de renombre como András Schiff y Zoltán Kocsis. Entre 1993 y 1995 Kurtág fue compositor residente de la Filarmónica de Berlín, donde escribió su op. 33 Στηλη (Stele) (Efigie) para orquesta sinfónica.

Ha obtenido numerosos premios y distinciones, entre ellos el Premio de Composición Musical Príncipe Pierre de Mónaco, concedido el año 1992 por sus obras op. 27 y op. 29 (n°3 Grabstein für Stefan). En el año 2006 obtuvo el Premio Grawemeyer de Composición por su obra "Concertante" para violín, viola y orquesta, mientras que en 2009 el Festival Internacional de Música Contemporánea de la Bienal de Venecia le concedió el León de Oro como reconocimiento a su carrera, y ya en 2013 recibió la Medalla de Oro de la Royal Philharmonic Society.​

En 2011, el nuevo director del Festival de Salzburgo, Alexander Pereira, anunció que le había encargado una ópera, basada en un texto de Samuel Beckett Endgame, que debía ser creada durante la edición de 2013 del Festival. Sin embargo, la composición no se completó a tiempo y la ópera se reprogramó para 2015, todavía en Salzburgo. A finales de octubre de 2014 anunció que su esposa estaba gravemente enferma y que no podría terminar el trabajo a tiempo. Por tanto, la creación es sustituida por una nueva producción de Die Eroberung von Mexiko de Wolfgang Rihm y, en La Scala, que iba a coproducir el espectáculo, Wozzeck de Alban Berg. La obra finalmente se creó en La Scala en 2018.

En 2011, el nuevo director del Festival de Salzburgo, Alexander Pereira, anunció que le había encargado una ópera, basada en un texto de Samuel Beckett Endgame, que debía ser creada durante la edición de 2013 del Festival. Sin embargo, la composición no se completó a tiempo y la ópera se reprogramó para 2015, todavía en Salzburgo. A finales de octubre de 2014 anunció que su esposa estaba gravemente enferma y que no podría terminar el trabajo a tiempo. Por tanto, la creación es sustituida por una nueva producción de Die Eroberung von Mexiko de Wolfgang Rihm y, en La Scala, que iba a coproducir el espectáculo, Wozzeck de Alban Berg. Fin de Parti finalmente se estrenó en La Scala en 2018.

Ha sido galardonado con el Premio Fundación BBVA Fronteras del Conocimiento 2014 en la categoría de Música Contemporánea. El acta del jurado destacó que su obra se caracteriza por “una intensidad expresiva única”. Y continúa: “La dimensión innovadora de su música no está vinculada al material que utiliza, sino a su alma, a la autenticidad de su lenguaje, a su manera de traspasar las fronteras entre espontaneidad y reflexión, entre formalización y expresión”.

En 2024 fue galardonado con el Premio Wolf en Artes.