György Kurtág nacque nella regione del Banato, da genitori ungheresi nel 1926 e si trasferì in Ungheria, a Budapest, nel 1946. Ivi frequentò la rinomata Accademia di musica Ferenc Liszt, dove ebbe la possibilità di conoscere sia sua moglie Márta Kinsker, studentessa di pianoforte, sia György Ligeti, con il quale strinse subito una forte amicizia. All'epoca i suoi insegnanti furono Pál Kadosa (pianoforte), Sándor Veress e Ferenc Farkas (composizione) e Leó Weiner (musica da camera) — e già in gioventù Béla Bartok fu il suo compositore di riferimento. Dopo aver ricevuto la cittadinanza ungherese nel 1948, si diplomò in pianoforte e musica da camera nel 1951 e in composizione nel 1955. In seguito alla rivoluzione ungherese del 1956, egli fu costretto a rifugiarsi con Márta a Parigi, ove ebbe la possibilità di studiare con Olivier Messiaen e Darius Milhaud. La sua fuga in Francia fu dovuta al rifiuto dei rigidi dettami estetici imposti dal governo di János Kádár: molti lavori di Bartók, di Arnold Schönberg, nonché la quasi totalità dei lavori di Igor' Fëdorovič Stravinskij, furono infatti vietati in quanto in contrasto con i principi del comunismo

Fra il 1960 e il 1968 lavorò come maestro accompagnatore presso l'Orchestra filarmonica nazionale di Budapest e nel 1967 ricevette la cattedra di pianoforte — in seguito, e sino al 1993, insegnò anche musica da camera proprio nel prestigioso istituto in cui si era formato. Durante la sua permanenza all'Accademia Ferenc Liszt in qualità di docente annoverò, tra gli altri, allievi come András Schiff e Zoltán Kocsis.

Acquisì, intorno alla metà degli anni settanta, la fama internazionale con Messages of the Late Miss R.V. Troussova per soprano e orchestra da camera. Nel 1993 vinse il Premio Herder. Fu invitato dai Berliner Philharmoniker come compositore in sede dal 1993 al 1995, e per lo stesso ruolo anche dall'Orchestra Sinfonica di Vienna (1995) e dall'Ensemble InterContemporain. Fu insignito, tra i vari premi e riconoscimenti ricevuti, dell'Ordine delle Arti e delle Lettere in Francia nel 1985, del Premio Kossuth, finanziato dallo stato ungherese, sia nel 1973 sia nel 1996 e del Premio musicale Léonie Sonning nel 2003.

Nel 2011, il nuovo direttore del Festival di Salisburgo, Alexander Pereira, annunciò di avergli commissionato un'opera, basata su un testo di Samuel Beckett, Endgame, destinata a essere realizzata durante l'edizione 2013 del Festival. Tuttavia, la composizione non fu completata in tempo e l'opera fu riprogrammata per il 2015, sempre a Salisburgo. A fine ottobre 2014 ha annunciato che sua moglie era gravemente malata e che non avrebbe potuto portare a termine i lavori in tempo. La creazione viene quindi sostituita da una nuova produzione di Die Eroberung von Mexiko di Wolfgang Rihm e, alla Scala che doveva coprodurre lo spettacolo, Wozzeck di Alban Berg. Fin de Parti è stata finalmente realizzata alla Scala nel 2018.

Le sue composizioni, pur non in gran numero, sono state eseguite da diverse orchestre di fama internazionale e, al 2018, si contano 48 numeri d'opera.