En 1999, Asmik Grigorian se graduó en la Escuela Nacional de Arte M. K. Čiurlionis de Vilnius. Estudió música en la Academia Lituana de Música y Teatro y se graduó con un máster en 2006. Grigorian hizo su debut operístico en Christiansand (Noruega) en 2004 como Donna Anna en Don Giovanni dirigida por Jonathan Miller, en 2005 hizo su debut en el escenario. Debutó en Lituania como Violetta en La Traviata, también dirigida por Jonathan Miller, y en 2006 se convirtió en uno de los miembros fundadores de la Ópera de la Ciudad de Vilna, cantando en La bohème (Mimi y Musetta) de Puccini, Pagliacci (Nedda) de Leoncavallo, Il trovatore (Leonora) de Verdi, Manon Lescaut, Pique Dame y Eugene Onegin de Tchaikovsky, Sweeney Todd y Werther de Massenet. Grigorian actuó más tarde en la Ópera Nacional de Letonia (en 2005 bajo la dirección de Andres Jaegers) y en el Teatro Mariinsky, actuando en Il Trittico de Puccini, Otello de Verdi, Madama Butterfly de Puccini, The Gambler de Prokofiev y Rusalka de Dvorak. Recibió el premio teatral más importante de Lituania, la Cruz de Oro del Escenario, en 2005 y 2010.

Desde 2011, Grigorian ha actuado en varios teatros de ópera a nivel internacional. Se destacó en óperas como La hechicera (Nastasya) de Tchaikovsky en el Theater an der Wien en septiembre de 2014 y como Tatiana en Eugene Onegin en la Komische Oper de Berlín en 2016.

En mayo de 2016, Grigorian fue distinguida en los Premios Internacionales de Ópera de Londres como Mejor Artista Revelación ("Joven Cantante Femenina"). En diciembre de 2016 actuó en la Ópera Real Sueca en el papel principal de Fedora de Giordano. En su debut en el Festival de Salzburgo en agosto de 2017, cantó el papel de Marie en Wozzeck de Alban Berg y recibió gran éxito de crítica. Grigorian hizo su debut en el Festival Internacional de Edimburgo en agosto de 2019 cuando la Komische Oper Berlin trajo su producción de Eugene Onegin a Edimburgo.

Durante la temporada 2019/20, Asmik actuó como Manon Lescaut en la Ópera de Frankfurt, también regresó a su ciudad natal de Vilnius, donde actuó como Polina en The Gambler. Este papel fue retomado hacia el final de su temporada en el Teatro Mariinsky de San Petersburgo. Las funciones de Norma de Bellini, Elektra de Richard Strauss y Jenůfa de Janáček se cancelaron debido a la pandemia de COVID-19.

Asmik comenzó su temporada 2020/21 como Madama Butterfly en la Ópera Estatal de Viena y luego en el Teatro Mariinsky, y más tarde en la temporada en la Deutsche Oper de Berlín. Apareció como Lisa en Pique Dame en el Teatro Mariinsky, Rusalka de Dvorak en el Teatro Real de Madrid dirigida por Ivor Bolton y el papel principal en Salomé de Strauss en el Teatro Bolshoi dirigido por Tugan Sokhiev. Actuó como Senta en Der fliegende Holländer de Wagner en el Festival de Bayreuth y en Elektra en el Festival de Salzburgo, dirigida por Franz Welser-Möst.

La temporada 2021/22 de Grigorian comenzó con un debut en casa y en el papel en la Royal Opera House en una nueva producción de Jenůfa dirigida por Henrik Nánási. En concierto, actuó en el marco de la Gala de la Deutsche AIDS-Stiftung en la Ópera Estatal de Berlín y como Marie en Drei Bruchstücke aus Wozzeck en el Teatro del Maggio y la Elbphilharmonie. En la Ópera Estatal de Viena, Asmik actúa como Manon Lescaut. Realizó una gira europea con el pianista Lukas Geniusas para promocionar su álbum recientemente lanzado, Dissonance. Asmik regresó al Festival de Salzburgo para interpretar los tres papeles principales en una nueva producción de Il Trittico de Puccini, dirigida por Christof Loy.

Asmik comenzó la temporada 2022/23 con la continuación de su gira de recitales de álbumes con el pianista Lukas Geniusas. Regresó a dos de sus papeles principales característicos esta temporada, primero, en Rusalka en el festival Dvořák de Praga y luego en la Royal Opera House y segundo, en Jenůfa en la Wiener Staatsoper. Grigorian apareció más tarde en el papel principal de La Hechicera. y como Manon Lescaut en la Ópera de Frankfurt. También hizo su debut en Japón en el papel principal de Salomé con la Orquesta Sinfónica de Tokio. Para finalizar su temporada, Grigorian regresó al Festival de Salzburgo, donde hizo su debut en el papel de Lady Macbeth en Macbeth de Verdi.

Su temporada 2023/24 comenzó con Madama Butterfly en la que hizo su debut con la casa en el Arena di Verona. En diciembre de 2023 debutó en Turandot en la Ópera Estatal de Viena junto a Jonas Kaufmann en una nueva puesta en escena de Claus Guth. El 11 de mayo de 2024 cantó Cio-Cio San en Madama Butterfly en su primera transmisión en vivo en HD de Metropolitan Opera .